如何教出數學小天才：真正建構式數學的精神(4-2)
【大紀元8月29日訊】
量是不變的，永恆的，是神的創造；但是形容數量的語言，卻是人類的傑作！不同的文化創造出來不同的記號來代表量，我在此提倡用顏色來代表量，就如同代數用英文字母來代表量，阿拉伯數字用1234567890代表量一般。
前面章節所談到的6~20的數量概念，全部建築在五根積木，五種顏色上。無論如何，現代數學用的是十進位，而不是五進位。十進位必須有十個名稱，十種顏色。因此我們必須從原來的五種名稱，五種顏色，變成十種。
五和一的新名，稱為六。
五和二的新名，稱為七。
五和三的新名，稱為八。
五和四的新名，稱為九。
五和五的新名，稱為十。
不要把數量的新名稱當作是一件可笑或者順理成章的事情，無論是發明新名稱，或者接受新名稱，都是對腦力的一項挑戰。如果我用一個記號，譬如”代表一百零八，而且要您找出其他的一百零七個記號，來做出一百零八進位法的系統，那麼您就笑不出來，知道這是大工程一件了。對小孩子而言，道理是同樣的，每一個記號都是新的，都是阿姆斯壯登上月球的一步。
這篇文章開門見山說，要用顏色取代記號並做為數量的新名稱，量還是用積木代表，然後在積木上著色，瑞士數學家古氏發明的積木中，就把六七八九十的積木著上不同顏色，這是基於十進位法的思想產生的。每一個數字都有一個顏色，除了零沒有！
五進位有5種顏色，十進位就當有10種顏色；而二十進位，理應有20種顏色，只要積木做出顏色來，即使要精通二十進位也不難（後文示範）。
如果教師把數字加在顏色後面唸，如黃色五(yellow five)、深綠六(green 7)、黑色七(black 7)、褐色八(chocolate 8)、藍色九(blue 9)、橘色十(orange 10)，小朋友就會自然而然將顏色和數字連想在一起。
只要排過上圖的積木，小朋友對六、七、八、九、十的概念將會如下：
綠＝黃＋白
黑＝黃＋紅
藍＝黃＋綠
褐＝黃＋紫
橘＝黃＋黃
綠、黑、藍、褐、橘，比白、紅、綠、紫、黃複雜，因為這五個顏色不是「基本色」。教師會發現，小朋友對這幾個顏色不感興趣，因為它們較黯淡，而且少用，就算用了，也引不起人的注意。小朋友的生活經驗中，甚至沒有注意到這幾樣顏色的存在。當教師開始介紹這幾樣顏色時，小朋友可能很震驚這幾樣顏色的存在。教師可以在教室現場搜索類似顏色作比對。
頭髮是黑的，可以和黑色七作連結。
綠色可以和黑板顏色比對。
橘色和橘子比對，如果現場真可以找到橘子。
褐色可以和顏色深的木頭作比對。
等到小朋友將顏色和數字連結，而且可以輕鬆自如地唸誦出來時，教師就可以要小朋友進行觸摸和閉起眼睛找積木的動作了。
請記住，數量的名稱是人為加上去的，在每個文化裡面都有不同的名稱。名稱是可以改變的，但是數量卻是不能更改的。既然名稱可以發明，那麼如果用顏色來取代名稱，有何不可呢？顏色一樣可以變成好寫的符號，如下表：
代數先趨﹔操作顏色
我們將靠著這幾個符號，提早進入代數的領域。小朋友最慢在小學三年級時，就可以教代數。但是如果沒有好的引導，即使等到國一時才教他，他也很痛苦。教數學的方法若不對，不管這個小朋友的資質如何，天才也好，庸才也罷，他和教師都會感受到同樣程度的痛苦。有些不智的教師會想：「用積木操作，太麻煩了！我好教就好，何必管學生的感受。」但是教師和學生是同體的，站在同一條線上的，當學生感受到不能跨越障礙的痛苦時，教師是感同身受的，所以何不如剛開始麻煩一點，讓大家都快樂呢？
現在稍微提一下，如何用上面這幾個符號教代數。
A. 代數分配率
1. 在黃色百格板的左邊和上方加上橘色長條，缺口處擺上白色積木 並做X記號，如下圖。
2. 在上方橘色長條上擺放白色積木一和紅色積木二，代表w+r。
在左邊擺萊姆色積木三和粉紅色積木四，代表l+p。
我把背景變成黑色，好讓大家的注意力，可以集中在亮的地方。
3. 把其間的長方形區域填滿，如下圖。
如果是著色，可以著上兩種顏色，如果是用積木，那麼兩種顏色就隨便選一種顏色取代，不過照理說是放被乘數的顏色比較好，因為乘數就是倍數的意思，它是沒有實體的。
4. 解釋代數公式。
要教小朋友代數，如果沒有把代數符號轉成顏色，那麼要小朋友理解代數是很困難的，在這裡，我的重點，並不在敘述如何教導小朋友代數，而是闡明用顏色代表數字的價值。
B. 兩數相加減
再看下一個代數例子，兩數相加是十，兩數相減是四，那麼這兩數是多少？用代數符號解雖然很簡單，但是要讓小朋友了解為什麼，卻很困難。若用積木，兩三下就解決，教師不用解釋到焦頭爛額。
x+y=10
x-y=4
方法一：移動粉紅色積木，固定兩數之差
如果仔細觀察上圖，不難發現粉紅色的積木在移動，隨著粉紅色積木的移動，第一排的橘色積木也隨之縮減，目標是要減到上排的橘色積木和下排的橘色積木相加等於十。
粉紅色積木每移動一個位置，都會造成橘色積木少二。
現在從頭解釋題目，為了讓讀者了解意思，改換顏色。
第一排代表ｘ，此數的最大值是十，因為兩數相加等於十。
第二排仍然是ｘ，要代表x-y=4等於四的狀況，就是將y的積木置放於ｘ左上方。
ｘ必須露出四格空位，用粉紅色積木補上。粉紅色積木是一個不會改變的常數，無論x為多少，y為多少，四是不會變的。
按照假設，第二排的綠色積木應為y值，而ｘ＋ｙ必須等於十。
但很顯然兩數加在一起超過十，所以二者的區間必須縮減。
縮減方式是移動粉紅色積木的位置，直到x+y=10。
先把粉紅色積木移動一個位置試試看。
注意：當粉紅色積木向左移動時，上方的橘色區域也會跟著縮減。
為什麼？因為第二排的之值改換後，第一排的x也需跟著換，而兩個ｘ值是相等的。
現在問題變成該怎麼讓x+y數到十，粉紅色積木每移動一個位置，二者之值就會縮減兩格，不是一格。
為什麼？因為上排減一格，下排也會減一格。
所以解答出來了，粉紅色積木必須再移動兩個位置，兩數加起來才會變成十。
一個數是七，另一個數是三。
無論題目如何變化，只要按照這個方法，沒有不迎刃而解的。
為了讓讀者抓住題目的變化，我把圖形簡化成下圖。
現在歸納一下方法，一開始粉紅色積木擺末端，橘色區域是十六，這證明粉紅色積木要移動三格，才能把多出來的六減掉。當粉紅色積木移動三格時，上排的積木馬上變成七，一個數的解答就浮出來了。
如果兩數之合超過二十，那麼我們就把兩排積木設定為三十或四十，照樣解答出來。
方法二：交錯的火車
這個圖形有一種規律之美，一般人不會想到這就是名聞遐邇的代數題目之解。
x+y=a
x-y=b
從圖片上看，重疊的部分以一二三的速率增加。
重疊的部分就是y，不重疊的部分即x.
不知道讀者有沒有辦法領悟當中的道理。
交錯的部分就是兩個數分開的地方：
第一次交錯，兩數分成九加一。
第二次交錯，兩數分成八加二。
第三次交錯，兩數分成七加三。
答案出來了！
代表數量的符號和圖像可以視需要變更
為何要閉起眼睛找積木？很多人問我這個問題，包括一些數學博士在內！
簡單地回答，就是眼睛認識數量還不算，必須觸覺也認識數量才算。
在教毫無數學經驗的三歲小朋友算術時，我並不急著教數字，反而優先教顏色。譬如：
我問「紅色積木加綠色積木」是什麼顏色的積木，而不是二加三是多少。教師可以把紅色積木和綠色積木拿出來，擺成下圖，要小朋友挑出一根長度相等的積木。
無論是五進位還是十進位，還是二十進位，我們都需要依附在五進位上，上文已經解釋過人腦不過七的法則。能想像算盤在二十進位的社會中是什麼樣子嗎？
上珠有三顆，下珠還是四顆！
請想像當您用一個上珠三顆，下珠四顆的「二十一世紀最ㄅ一ㄚˋ新式無電算盤」時，您還有沒有辦法操作？
一個會十進位算盤的人，二十進位也不會忽然變成不會的，所以算盤真是方便的工具，又不怕停電，只怕沒攜帶；但還有比算盤更方便的，那就是人腦，連攜帶的麻煩都免了。只要能在腦袋中，出現積木會算盤的映像，這兩個工具都不用帶，但是經驗告訴我，人腦要出現積木的映像比算盤映像簡單。然而要出現映像之前，得有豐富的積木或算盤操作經驗。
數學教育博士Dr. Eternal Yen，2004撰
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